Un'altra particolarità dell'anello è che tagliandolo a metà parallelamente al bordo si ottiene un altro nastro stavolta orientabile, con due bordi e due superfici diverse; è diventato quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalla forbice rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l'altro. Se invece tagliamo l'anello a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con la forbice e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell'altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.

Numero cromatico

Ribaltando la prospettiva che abbiamo seguito finora, definiamo numero cromatico di una superficie l'indicazione del numero massimo di regioni che possono essere tracciate su di essa in modo che a ogni regione venga attribuito un colore differente e che ogni colore confini con tutti gli altri. Sappiamo che quello dell'anello di Möbius è pari a 6, dunque vediamo una possibile mappatura:

Notare che l'estremità destra e sinistra si congiungono con una rotazione di 180% (dunque la regione fucsia si congiunge), e che i calori devono essere gli stessi su entrambe le facce del foglio di partenza.

Concludiamo dicendo che sei colori sono necessari per avere la garanzia che nessuna regione di una qualsiasi mappa abbia lo stesso colore di una confinante, ma questo non vuol dire che ogni mappa lo richieda per forza. Ecco ad esempio una mappatura su anello di Möbius che usa cinque colori:

Teoria dei grafi e teorema dei colori

Mappe risolutive

Abbiamo detto che 6 colori sono sufficienti per colorare qualsiasi mappa tracciata su un anello di Möbius, vediamo ora una possibile mappa che risolve il problema:

In realtà sono sufficienti anche 5 colori, a patto però che anche il numero di regioni definite sul nastro siano siano 5. La mappa in questo caso è la seguente:

Teoria dei grafi

Abbiamo detto che 6 colori sono sufficienti per colorare qualsiasi mappa tracciata su un anello di Möbius, vediamo ora una possibile soluzione che risolve il problema:

 è possibile dividere un nastro di Möbius in 6 regioniSu un anello di Moebius è possibile dividere il regno in 5 oppure 6 regioni in modo che ciascuna di esse abbia almeno una linea di confine con tutte le altre.

Potete verificarlo voi stessi preparando una striscia di carta esattamente come illustrato nella figura qui sotto. La striscia è divisa in cinque regioni numerate da 1 a 5 e colorate con cinque colori diversi. Ciascuna regione è colorata dello stesso colore e porta lo stesso numero sia sul "diritto" che sul "rovescio". Per i 5 colori:

Teorema dei colori e teoria dei grafi

Affrontiamo il problema dei colori su un anello di Möbius considerando la teoria dei grafi. In generale questa formulazione prevede che i vertici di ciascun grafo planare possano essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due vertici adiacenti non ricevano mai lo stesso colore. Questa rappresentazione associa ogni regione della mappa a un vertice del grafo: due vertici sono connessi da uno spigolo se e solo se le due regioni corrispondenti hanno un segmento di bordo in comune.

Spostiamo ora il problema della colorazione su una superficie chiusa piuttosto che su un piano, e grazie alla congettura di Heawood sappiamo che il massimo numero di colori necessari dipende dalla caratteristica di Eulero (X) della superficie, in accordo con la formula: http://upload.wikimedia.org/math/c/4/f/c4f41db0c995313fd7236d76904bddd7.png L'anello di Möbius ha caratteristica di Eulero pari a 0, dunque la p risultante sarebbe 7. Dato però che si tratta di una superficie non orientata, a questo valore dobbiamo sottrarre 1 e otterremo così che il numero minimo di colori è pari a 6.

Un'altra particolarità dell'anello è che tagliandolo a metà parallelamente al bordo si ottiene un altro nastro stavolta orientabile, con due bordi e due superfici diverse; è diventato quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalla forbice rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l'altro.
Se invece tagliamo l'anello a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con la forbice e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell'altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.

Affrontiamo il problema dei colori su un anello di Möbius sfruttando la teoria dei grafi. In generale questa formulazione prevede che i vertici di ciascun grafo planare possano essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due vertici adiacenti non ricevano mai lo stesso colore. Questa rappresentazione associa ogni regione della mappa a un vertice del grafo: due vertici sono connessi da uno spigolo se e solo se le due regioni corrispondenti hanno un segmento di bordo in comune.

Spostiamo ora il È inoltre possibile considerare il problema della colorazione su una superficie piuttosto che su un pian

Teorema dei colori

(:youtube Eb-Fi8GI6PE:)

Una dimostrazione visiva è data dall'animazione accanto.

Un'altra particolarità del nastro è che tagliandolo a metà parallelamente al bordo si ottiene un altro nastro che ha però una torsione intera, due bordi e due superfici diverse; è diventato quindi orientabile. La cosa interessante è che i due bordi separati dalla forbice rimangono un solo bordo, quindi la figura viene completamente tagliata a metà, ma rimane attaccata; tagliando ancora a metà il secondo si ottengono due nastri con torsione intera uno dentro l'altro.
Se invece tagliamo il nastro a un terzo della sua larghezza si possono fare due giri con la forbice e si ottengono due nastri concatenati, uno grande la metà dell'altro, dove quello piccolo è ancora un nastro di Möbius, con mezza torsione, mentre quello grande ha una torsione intera.

L'anello o nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile. Ciò significa che non potremo in alcun modo distinguere un "fuori" e un "dentro", o un "sopra" e un "sotto", ma esiste un solo lato e un solo bordo.

Se infatti scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due torniamo alla posizione iniziale.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png

Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale.

Ecco qui un'animazione di esempio:
(:youtube Eb-Fi8GI6PE:)

Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale.
Ecco qui un'animazione di esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Moebiusband_wikipedia_animation.ogg

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°.

A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull'intera superficie del nastro che è quindi unica.

Teoria dei grafi

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/Img/Mobius%20(1).jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png L'anello o nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile in cui esiste un solo lato e un solo bordo.

Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale. Ecco qui un'animazione di esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Moebiusband_wikipedia_animation.ogg

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/Img/Mobius%20(1).jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/MobiusStrip-01.png L'anello o nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile in cui esiste un solo lato e un solo bordo. Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale. Ecco qui un'animazione di esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Moebiusband_wikipedia_animation.ogg

In particolare lo schema per i sei colori è ricavato dal seguente grafo di Tietze:

L'anello di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile in cui esiste un solo lato e un solo bordo. Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale. Ecco qui un'animazione di esempio: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Moebiusband_wikipedia_animation.ogg

Un nastro di Möbius può essere facilmente realizzato partendo da una striscia rettangolare ed unendone i lati corti dopo aver impresso ad uno di essi mezzo giro di torsione, pari a 180°. A questo punto se si percorre il nastro con una matita, partendo da un punto casuale, si noterà che la traccia si snoda sull'intera superficie del nastro che è quindi unica.

Teorema dei colori

Possiamo dividere l'anello di Mobius in 5 o 6 regioni in modo che ciascuna di esse abbia almeno una linea di confine con tutte le altre.

Per i 5 colori:

Per 6 colori:

Anello di Möbius

L'anello di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile in cui esiste un solo lato e un solo bordo. Se scorriamo con un dito la sua superficie, dopo aver percorso un giro ci troviamo dalla parte opposta a quella di partenza, mentre dopo averne percorsi due ci ritroviamo nella posizione iniziale.

Anello di Moebius

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius, dal nome del matematico tedesco August Ferdinand Möbius, è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata.

(:includeurl http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/Moebiusband_wikipedia_animation.ogg:)