Matematica del discreto - Guida agli esercizi 2°Parte

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Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Prendiamo ad esempio la matrice di ordine n=3,

| 7  0  0|
| 1  9  0|
|-1 16  7|

devo calcolare le soluzioni del polinomio caratteristico che è dato da det(A-hI)=0. A è la matrice data, I è la matrice identità:

    |1 0 0|
I = |0 1 0|
    |0 0 1|

Il polinomio caratteristico sarà quindi così:

|(7-h)   0     0  |
|  1   (9-h)   0  |
| -1    16   (7-h)|

e il suo determinante sarà dato da (7-h)²(9-h)=0
In questo modo ho trovato gli autovalori 7 e 9, ossia le soluzioni dell'equazione.
La molteplicità algebrica ma di 9 è 1, poiché l'esponente di (9-h) è appunto 1.
La molteplicità algebrica ma di 7 è 2.

Ci sono due possibilità per capire se una matrice è diagonalizzabile.

1. La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori di A è uguale all'ordine di A
2. Gli autovalori di A sono tutti regolari, ossia ma(h)=mg(h)

È sufficiente una di queste due condizioni affinchè la matrice sia diagonalizzabile.
N.B. Se gli autovalori sono distinti la matrice è sempre diagonalizzabile!
La molteplicità geometrica di A è pari alla dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore A, in particolare m_g=n-rK(A-AI)

                       |(7-9)   0     0  |    |-2  0  0|
m_a(9)=1  m_g(9)= 3-rk |  1   (9-9)   0  |  rk| 1  0  0| = 2 m_g(9)=3-2=1
                       | -1    16   (7-9)|    |-1 16 -2|

                       |(7-7)   0     0  |    | 0  0  0|
m_a(7)=2  m_g(7)= 3-rk |  1   (9-7)   0  |  rk| 1  2  0| = 2 m_g(7)=3-2=1
                       | -1    16   (7-7)|    |-1 16  0|

N.B: Controllare che se m_a(h₁)+m_a(h₂)+...+m_a(hn)=n è diagonalizzabile, in caso contrario devo confrontare ma e mg dei rispettivi autovalori.

Per calcolare gli autovettori:
imposto il sistema Av=hv, dove v è un vettore di 3 componenti (x,y,z)

    |(7-h)   0   0 |      |x|
A = |  1     9   0 |  v = |y|
    | -1    16   7 |      |z|

l'autovettore relativo ad h=9 è dato da A(x,y,z)=9(x,y,z) che dà luogo al sistema:

  | 7x = 9x                  | x = 0                              | 0|
 <  x + 9y = 9y         =>  <  y = y  =>  l'autovettore relativo  | y|
  | -x + 16y + 7z = 9z       | z = 8y     all'autovalore 9 è ...  |8y| 

Per l'autovalore 7:

  | 7x = 7x                  | x = x                                      |0|
 <  x + 9y = 7y         =>  <  y = -x/2  =>  l'autovettore relativo a 7 è |0|
  | -x + 16y + 7z = 7z       | z = 0                                      |z| 

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Unione, intersezione e somma di sottospazi

La dimensione di una base è data dal numero di vettori da cui è composta.
N.B: Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su K e siano S e T due suoi sottospazi.

Es: in R³ si considerino i due sottospazi S e T definiti nel modo seguente.

Dopo aver determinato una base per S e T, determinare la dimensione e una base per S∩T e S+T.
Si può esprimere il generico vettore di S come:

quindi la dimensione di S è 2. (per trovare i due vettori della base di S occorre semplicemente assegnare dei valori “comodi” ad a e b)

Per quanto riguarda T una base sono i due vettori che lo generano:

quindi anche in questo caso la dimensione è 2.
Quindi, dato che S+T è contenuto in R³, la dimensione massima sarà 3:

dim(S+T)=	dim(S)+	dim(T)	-dim(S∩T
3=	2+	2	-1
2=	2+	2	-1

Calcolo S∩T. Il generico vettore di T:

|(h+2k)|
|  k   |
| -h   |

sta in S se le sue componenti soddisfano la relazione che definisce i vettori di S:

                                     | 0|    |0|
(h+2k)+2k+h = 0 => 2h+4k=0 => h = 2k | k| = k|1|
                                     |2k|    |2|

quindi la dimensione di (S∩T)=1, quindi S+T=R , quindi una sua base è la canonica di R³.

,.--.,,.--.,

Es2: si consideri il sottospazio di R³:

a) determinare la dimensione e una base per X
b) determinare due diversi sottospazi complementari di X in R³

DimX = 2, infatti una base è:

|-2c|    |0|    |-2|
| b | = b|1| + c| 0|
| c |    |0|    | 1|

Gli spazi generati rispettivamente da un vettore qualsiasi che completi la base di X, ad esempio da i oppure da k, sono spazi complementari.

Omomorfismi, nucleo e immagine

(Teorema importante) Teorema di nullità più rango:

Se dimV=n, dimV = dim Kerf +dim f(v)

Es: Si dimostri che esiste uno ed un solo omomorfismo f:R³  R³ tale che:

 |1|   |3|    |0|   |0|    |0|   | 3|
f|2| = |6| , f|1| = |4| , f|2| = | 3| 
 |0|   |0|    |1|   |4|    |0|   |-4|

Il teorema di determinazione di un omomorfismo garantisce la proprietà se i tre vettori

|1|   |0|   |0|
|2| , |1| , |2|
|0|   |0|   |0|

sono una base, e infatti:

   |1 0 0|
det|2 1 2| = -2 != 0
   |0 1 0|

I vettori sono una base perchè il determinante è diverso da zero, quindi l'omomorfismo c'è ed è unico.

• Per sapere se è un immagine devo prendere i vettori e farne la combinazione lineare.
  (a*v₁+b*v₂+c*v₃+...=Immagine)
• Per trovare la base dell'immagine, faccio la canonica dei vettori, tengo solo quelli indipendenti (det≠0) e l'immagine è tutto il codominio.
• Se ho due vettori base e un immagine “presunta” come prima faccio a*v₁+b*v₂=Immagine; se a e b esistono allora esiste anche l'immagine, altrimenti

vuol dire che l'immagine “presunta” non appartiene al codominio (non è immagine).

Omomorfismi e matrici

Dati i vettori faccio la canonica di ogni vettore e trovo la matrice associata.

Es: Si consideri l'omomorfismo

determinare la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica di R³.
Risulta:

Per trovare il nucleo devo mettere le equazioni uguali a zero (attenzione però a non eliminare le incognite!)

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