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Uni.MDD-EserciziSecondaParte History
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!!!Omomorfismi, nucleo e immagine
(Teorema importante) '''Teorema di nullità più rango''':
-->''Se dimV=n, dimV = dim Ker''f'' +dim f(v)''
Es: Si dimostri che esiste uno ed un solo omomorfismo f:R'^3^'  R'^3^' tale che:
[@
|1| |3| |0| |0| |0| | 3|
f|2| = |6| , f|1| = |4| , f|2| = | 3|
|0| |0| |1| |4| |0| |-4|@]
Il teorema di determinazione di un omomorfismo garantisce la proprietà se i tre vettori\\
[@
|1| |0| |0|
|2| , |1| , |2|
|0| |0| |0|@]\\
sono una base, e infatti:\\
[@
|1 0 0|
det|2 1 2| = -2 != 0
|0 1 0|@]
I vettori sono una base perchè il determinante è diverso da zero, quindi l'omomorfismo c'è ed è unico.
* Per sapere se è un immagine devo prendere i vettori e farne la combinazione lineare.\\
(a*v'_1_'+b*v'_2_'+c*v'_3_'+...=Immagine)
* Per trovare la base dell'immagine, faccio la canonica dei vettori, tengo solo quelli indipendenti (det≠0) e l'immagine è tutto il codominio.
* Se ho due vettori base e un immagine “presunta” come prima faccio a*v'_1_'+b*v'_2_'=Immagine; se a e b esistono allora esiste anche l'immagine, altrimenti
vuol dire che l'immagine “presunta” non appartiene al codominio (non è immagine).
!!!Omomorfismi e matrici
Dati i vettori faccio la canonica di ogni vettore e trovo la matrice associata.
Es: Si consideri l'omomorfismo
%center%Attach:esMDDomomorf1.gif
determinare la matrice '''A''' associata ad ''f'' rispetto alla base canonica di R'^3^'.\\
Risulta:
%center%Attach:esMDDomomorf2.gif
Per trovare il nucleo devo mettere le equazioni uguali a zero (attenzione però a non eliminare le incognite!)
%center%Attach:esMDDomomorf3.gif
Changed lines 115-117 from:
| 0| |0|
h2k2kh=0 => 2h4k=0 => h=−2k | k| = k|1|
|2k| |2|@]\\
to:
| 0| |0|
(h+2k)+2k+h = 0 => 2h+4k=0 => h = 2k | k| = k|1|
|2k| |2|@]\\
Added lines 66-138:
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!!!Unione, intersezione e somma di sottospazi
La dimensione di una base è data dal numero di vettori da cui è composta.\\
'''N.B''': Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su K e siano S e T due suoi sottospazi.
->''dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(S∩T)''
Es: in R'^3^' si considerino i due sottospazi S e T definiti nel modo seguente.
%center%Attach:esMDDsottospazi1.gif
Dopo aver determinato una base per S e T, determinare la dimensione e una base per S∩T e S+T.\\
Si può esprimere il generico vettore di S come:
%center%Attach:esMDDsottospazi2.gif
quindi la dimensione di S è 2. (per trovare i due vettori della base di S occorre
semplicemente assegnare dei valori “comodi” ad a e b)
Per quanto riguarda T una base sono i due vettori che lo generano:
%center%Attach:esMDDsottospazi3.gif
quindi anche in questo caso la dimensione è 2.\\
Quindi, dato che S+T è contenuto in R'^3^', la dimensione massima sarà 3:
(:table align=center cellpadding=10 border=2 bordercolor=white bgcolor=#E0EBF4:)
(:cellnr:)'''dim(S+T)='''
(:cell:)'''dim(S)+'''
(:cell:)'''dim(T)'''
(:cell:)'''-dim(S∩T'''
(:cellnr:)3=
(:cell:)2+
(:cell:)2
(:cell:)-1
(:cellnr:)2=
(:cell:)2+
(:cell:)2
(:cell:)-1
(:tableend:)
Calcolo S∩T. Il generico vettore di T:\\
[@
|(h+2k)|
| k |
| -h |@]\\
sta in S se le sue componenti soddisfano la relazione che definisce i vettori di S:
[@
| 0| |0|
h2k2kh=0 => 2h4k=0 => h=−2k | k| = k|1|
|2k| |2|@]\\
quindi la dimensione di (S∩T)=1, quindi S+T=R , quindi una sua base è la canonica di R'^3^'.
,.--.,,.--.,
Es2: si consideri il sottospazio di R'^3^':
%center%Attach:esMDDsottospazi4.gif
a) determinare la dimensione e una base per X\\
b) determinare due diversi sottospazi complementari di X in R'^3^'
'''DimX = 2''', infatti una base è:\\
[@
|-2c| |0| |-2|
| b | = b|1| + c| 0|
| c | |0| | 1|@]\\
Gli spazi generati rispettivamente da un vettore qualsiasi che completi la base di X, ad esempio da i oppure da k, sono spazi complementari.
Changed lines 11-66 from:
to:
!!!Autovalori, autovettori e diagonalizzazione
Prendiamo ad esempio la matrice di ordine n=3,\\
[@| 7 0 0|
| 1 9 0|
|-1 16 7|@]\\
devo calcolare le soluzioni del polinomio caratteristico che è dato da '''det(A-hI)=0'''. A è la matrice data, I è la matrice identità:\\
[@
|1 0 0|
I = |0 1 0|
|0 0 1|@]
Il polinomio caratteristico sarà quindi così:\\
[@
|(7-h) 0 0 |
| 1 (9-h) 0 |
| -1 16 (7-h)|@]\\
e il suo determinante sarà dato da '''(7-h)'^2^'(9-h)=0'''\\
In questo modo ho trovato gli autovalori 7 e 9, ossia le soluzioni dell'equazione.\\
La molteplicità algebrica ma di 9 è 1, poiché l'esponente di (9-h) è appunto 1.\\
La molteplicità algebrica ma di 7 è 2.
Ci sono due possibilità per capire se una matrice è diagonalizzabile.
# La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori di A è uguale all'ordine di A
# Gli autovalori di A sono tutti regolari, ossia ma(h)=mg(h)
È sufficiente una di queste due condizioni affinchè la matrice sia diagonalizzabile.\\
'''N.B.''' Se gli autovalori sono distinti la matrice è sempre diagonalizzabile!\\
La molteplicità geometrica di A è pari alla dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore A, in particolare ''m'_g_'=n-rK(A-AI)''
[@
|(7-9) 0 0 | |-2 0 0|
m_a(9)=1 m_g(9)= 3-rk | 1 (9-9) 0 | rk| 1 0 0| = 2 m_g(9)=3-2=1
| -1 16 (7-9)| |-1 16 -2|
|(7-7) 0 0 | | 0 0 0|
m_a(7)=2 m_g(7)= 3-rk | 1 (9-7) 0 | rk| 1 2 0| = 2 m_g(7)=3-2=1
| -1 16 (7-7)| |-1 16 0|@]
'''N.B:''' Controllare che se m'_a_'(h'_1_')+m'_a_'(h'_2_')+...+m'_a_'(hn)=n è diagonalizzabile, in caso contrario devo confrontare ma e mg dei rispettivi autovalori.
Per calcolare gli autovettori:\\
imposto il sistema Av=hv, dove v è un vettore di 3 componenti (x,y,z)\\
[@
|(7-h) 0 0 | |x|
A = | 1 9 0 | v = |y|
| -1 16 7 | |z|@]\\
l'autovettore relativo ad h=9 è dato da A(x,y,z)=9(x,y,z) che dà luogo al sistema:\\
[@
| 7x = 9x | x = 0 | 0|
< x + 9y = 9y => < y = y => l'autovettore relativo | y|
| -x + 16y + 7z = 9z | z = 8y all'autovalore 9 è ... |8y| @]\\
Per l'autovalore 7:\\
[@
| 7x = 7x | x = x |0|
< x + 9y = 7y => < y = -x/2 => l'autovettore relativo a 7 è |0|
| -x + 16y + 7z = 7z | z = 0 |z| @]
Added lines 1-14:
(:title Matematica del discreto - Guida agli esercizi 2°Parte:)
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