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 :: Ricerca Operativa - PL - Detersivi - 14.07.03 ::

Testo del problema

L’azienda Splendor SpA produce detersivi. Di ciascun tipo di detersivo sono noti il prezzo di mercato ed i coefficienti tecnologici ed è nota anche per ogni sostanza componente la quantità disponibile.
Esistono vincoli sulla composizione percentuale dei detersivi, dovuti a normative europee.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file DETERSIVI.TXT.

Dati

I prodotti sono 3: Brillatutto (B), Smacchialamacchia (S), T'acceco (T) 
Le sostanze usate per produrli sono 3: acqua fresca (a), vetriolo (v), 
polvere di denti di pipistrello (p) 

==================================================== 

Tabella 1: Valori minimi e massimi per ogni sostanza in ogni prodotto 
           (percentuali) 

   Sostanza     a           v           p 
            min   max   min   max   min   max 
Prodotto 
   B         80    90     5    10    10    20 
   S         70    85    10    20     5    15 
   T         65    70    20    50    15    35 

==================================================== 

Tabella 2: Quantità massime disponibili (litri/giorno) 

Sostanza   Quantità 
   a          700 
   v          150 
   p          200 

==================================================== 

Tabella 3: prezzi di mercato dei prodotti (Euro/litro) 

Prodotto  Prezzo 
   B        2.5 
   S        2.0 
   T        3.0

Formulazione del problema

Dati

p = 3 (numero di prodotti)
s = 3 (numero di sostanze)
valMin_ij (valore minimo di sostanza i=1..3 nel prodotto j=1..3) [%]
valMax_ij (valore massimo di sostanza i=1..3 nel prodotto j=1..3) [%]
disp_i (disponibilità giornaliera di sostanza i=1..3) [litri/giorno]
pr_j (prezzo di mercato del prodotto j=1..3) [€/litro]

Variabili

x_ij (quantità di sostanza i=1..3 da usare nel prodotto j=1..3) [litri/giorno]
y_j (quantità di prodotto j=1..3 da produrre al giorno) [litri/giorno]

Le variabili sono continue e non negative.

Funzione obiettivo

Bisogna massimizzare i ricavi giornalieri dell'azienda, quindi:
max (somma)_j y_j * pr_j [€/giorno]

Vincoli

vincoli sulle quantità minime di sostanze per prodotto:
x_ij >= valMin_ij * y_j (per ogni j e per ogni i)
vincoli sulle quantità massime di sostanze per prodotto:
x_ij <= valMax_ij * y_j (per ogni j e per ogni i)
vincoli sulle disponibilità giornaliere di sostanze:
(somma)_j x_ij <= disp_i (per ogni i)

Lindizzazione del problema

! esercizio - Detersivi

! variabili:	x(i,j) = quantità di sostanza i da usare nel prodotto j
!                        [litri/giorno]
!		y(j) = quantità di prodotto j da produrre al giorno 
!                      [litri/giorno]
! le variabili sono continue e non negative

! funzione obiettivo
max 2.5 y1 + 2.0 y2 + 3.0 y3

st

! vincoli sulle quantità minime di sostanze per prodotto
minX11) x11 - 0.80 y1 >= 0
minX21) x21 - 0.05 y1 >= 0
minX31) x31 - 0.10 y1 >= 0

minX12) x12 - 0.70 y2 >= 0
minX22) x22 - 0.10 y2 >= 0
minX32) x32 - 0.05 y2 >= 0

minX13) x13 - 0.65 y3 >= 0
minX23) x23 - 0.20 y3 >= 0
minX33) x33 - 0.15 y3 >= 0

! vincoli sulle quantità massime di sostanze per prodotto
maxX11) x11 - 0.90 y1 <= 0
maxX21) x21 - 0.10 y1 <= 0
maxX31) x31 - 0.20 y1 <= 0

maxX12) x12 - 0.85 y2 <= 0
maxX22) x22 - 0.20 y2 <= 0 
maxX32) x32 - 0.15 y2 <= 0

maxX13) x13 - 0.70 y3 <= 0
maxX23) x23 - 0.50 y3 <= 0
maxX33) x33 - 0.35 y3 <= 0

! vincoli sulle disponibilità giornaliere di sostanze
dispS1) x11 + x12 + x13  <= 700
dispS2) x21 + x22 + x23  <= 150
dispS3) x31 + x32 + x33  <= 200

end

Altre domande

Quali tipi di detersivo è conveniente produrre e quali no?

Basta guardare il valore ottimo delle variabili:

 VARIABLE        VALUE          REDUCED COST
        Y1       333.333344          0.000000
        Y2         0.000000          0.529412
        Y3       666.666687          0.000000
       X11       266.666656          0.000000
       X21        16.666666          0.000000
       X31        33.333332          0.000000
       X12         0.000000          0.000000
       X22         0.000000          0.000000
       X32         0.000000          0.000000
       X13       433.333344          0.000000
       X23       133.333328          0.000000
       X33       100.000000          0.000000

Quindi conviene produrre i detersivi y1 e y3, ovvero rispettivamente Brillatutto e T'Acceco. Smacchialamacchia ha invece valore nullo, quindi evidentemente non conviene.

Per ogni detersivo non conveniente, quale è il minimo aumento di prezzo che lo renderebbe conveniente?

Dall'analisi di sensitività vediamo che:

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

                           OBJ COEFFICIENT RANGES
 VARIABLE         CURRENT        ALLOWABLE        ALLOWABLE
                   COEF          INCREASE         DECREASE
       Y1        2.500000         1.192308         0.900000
       Y2        2.000000         0.529412         INFINITY
       Y3        3.000000         7.000000         0.968750

Quindi bisogna aumentare il prezzo di almeno 0.529412 euro per litro.

Quali sostanze sono scarse e quali sono in eccedenza?

Dal report della soluzione osserviamo che:

 DISPS1)         0.000000          2.745098
   DISPS2)         0.000000          6.078432
   DISPS3)        66.666664          0.000000

Quindi le sostanze scarse (con valore nella colonna "Slack or surplus" nullo) sono l’acqua fresca e il vetriolo, mentre è in eccedenza la polvere di denti di pipistrello per 66.666664 litri al giorno.

Quanti dei vincoli “europei” sono attivi all’ottimo?

Guardiamo ancora il report della soluzione:

     ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES
   MINX11)         0.000000         -2.745098
   MINX21)         0.000000         -6.078432
   MINX31)         0.000000          0.000000
   MINX12)         0.000000         -2.745098
   MINX22)         0.000000         -6.078432
   MINX32)         0.000000          0.000000
   MINX13)         0.000000         -2.745098
   MINX23)         0.000000         -6.078432
   MINX33)         0.000000          0.000000
   MAXX11)        33.333332          0.000000
   MAXX21)        16.666666          0.000000
   MAXX31)        33.333332          0.000000
   MAXX12)         0.000000          0.000000
   MAXX22)         0.000000          0.000000
   MAXX32)         0.000000          0.000000
   MAXX13)        33.333332          0.000000
   MAXX23)       200.000000          0.000000
   MAXX33)       133.333328          0.000000

Sei dei diciotti vincoli non sono attivi, tutti gli altri sì (compresi quelli che si riferiscono al detersivo non venduto).

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