Torna alla pagina di Ricerca Operativa
:: Ricerca Operativa - PL - Radioterapia - 20.02.06 ::
Testo del problema
Nel trattamento anti-tumorale con radioterapia è possibile irraggiare la parte malata da diverse posizioni ed angolature e con diverse intensità. Per ognuna di queste possibilità tuttavia bisogna tener conto degli effetti collaterali nocivi che il trattamento provoca sugli organi adiacenti la massa tumorale.
Si supponga di conoscere un insieme discreto di possibilità di irraggiamento di un tumore e e di voler decidere con quale intensità effettuare l’irraggiamento per ciascuna di esse. Si considerano un dato numero di organi adiacenti da preservare e per ogni possibilità di irraggiamento è noto un coefficiente che esprime la percentuale di radiazione che colpirebbe il tumore e la percentuale di radiazione che colpirebbe ciascuno degli organi adiacenti.
La quantità totale di radiazioni usabile nel trattamento è limitata e ci sono soglie massime anche sulle quantità riferite ad ogni singola possibilità di irraggiamento.
Si vuole massimizzare l’effetto delle radiazioni sul tumore, cioè la quantità totale di radiazioni assorbite dal tumore, nel rispetto di alcune soglie massime di tolleranza per i livelli di radiazione assorbiti da ciascun organo adiacente.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file TERAPIA.TXT.
Dati
Le posizioni da cui è possibile irraggiare il tumore sono 5.
Gli organi adiacenti il tumore sono 7.
Tabella 1: Coefficienti di assorbimento delle radiazioni [%]
Posizione 1 2 3 4 5
tumore 0.4 0.3 0.25 0.7 0.5
organo 1 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 <= 55
organo 2 0.1 0.0 0.15 0.0 0.1 <= 90
organo 3 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 <= 60
organo 4 0.0 0.2 0.1 0.1 0.0 <= 24
organo 5 0.1 0.0 0.2 0.0 0.1 <= 70
organo 6 0.1 0.3 0.15 0.1 0.1 <= 55
organo 7 0.2 0.1 0.15 0.0 0.0 <= 95
Tabella 2: Limiti massimi di tolleranza per ogni organo
organo 1 55
organo 2 90
organo 3 60
organo 4 24
organo 5 70
organo 6 55
organo 7 95
Tabella 3: Limiti massimi di radiazione erogabile per ogni posizione
Posizione Limite
1 120
2 130
3 100
4 150
5 150
Limite massimo complessivo per le radiazioni = 600
Formulazione del problema
Dati
- p = 5 (numero posizioni)
- t = 8 (numero target irraggiamento: 1 tumore + 7 organi adiacenti)
- coefAssij (coefficienti di assorbimento del target i=1..8 dalla posizione j=1..5) [%]
- limTolli (limite di tolleranza per il target i=1..8)
- limErogj (limite di radiazione erogabile per la posizione j=1..5)
- limRad = 600 (limite massimo complessivo per le radiazioni)
Variabili
xj (quantità di radiazione erogata nella posizione j=1..5)
La variabile è continua e non negativa.
Funzione obiettivo
Vogliamo massimizzare il totale di radiazioni assorbite dal tumore. Notare che i coefficienti di assorbimento utilizzati sono tutti relativi al target 1 (il tumore) nelle varie posizioni.
max (somma)j xj * coefAss1j
Vincoli
- vincolo sul limite massimo complessivo di radiazioni erogabili:
(somma)j xj <= limRad
- vincolo sul limite massimo di tolleranza degli organi:
(somma)j xj * coefAssij <= limTolli (per ogni target i=2..8)
- vincolo sul limite massimo di radiazioni erogabili per ogni posizione:
xj <= limErogj (per ogni j=1..5)
Lindizzazione del problema
! esercizio – Radioterapia
! variabili: x(j) = quantità di radiazione erogata nella posizione j
! la variabile è continua e non negativa
! funzione obiettivo
max 0.4 x1 + 0.3 x2 + 0.25 x3 + 0.7 x4 + 0.5 x5
st
! vincolo sul limite massimo complessivo di radiazioni erogabili
limMax) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 <= 600
! vincoli sul limite massimo di tolleranza degli organi
organo1) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.0 x3 + 0.1 x4 + 0.2 x5 <= 55
organo2) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.15 x3 + 0.0 x4 + 0.1 x5 <= 90
organo3) 0.0 x1 + 0.1 x2 + 0.0 x3 + 0.0 x4 + 0.0 x5 <= 60
organo4) 0.0 x1 + 0.2 x2 + 0.1 x3 + 0.1 x4 + 0.0 x5 <= 24
organo5) 0.1 x1 + 0.0 x2 + 0.2 x3 + 0.0 x4 + 0.1 x5 <= 70
organo6) 0.1 x1 + 0.3 x2 + 0.15 x3 + 0.1 x4 + 0.1 x5 <= 55
organo7) 0.2 x1 + 0.1 x2 + 0.15 x3 + 0.0 x4 + 0.0 x5 <= 95
! vincoli sui limiti massimi di radiazione erogabili per ogni posizione
limPos1) x1 <= 120
limPos2) x2 <= 130
limPos3) x3 <= 100
limPos4) x4 <= 150
limPos5) x5 <= 150
end
Altre domande
Nell’ipotesi di poter eccedere una delle soglie di tolleranza relative agli organi adiacenti, dire quale converrebbe violare per avere il miglior risultato sul tumore.
Dobbiamo scegliere tra le soglie attive all'ottimo, ovvero quelle con prezzo ombra diverso da 0.
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
LIMMAX) 100.000000 0.000000
ORGANO1) 0.000000 2.500000
ORGANO2) 50.500000 0.000000
ORGANO3) 60.000000 0.000000
ORGANO4) 0.000000 2.500000
ORGANO5) 26.000000 0.000000
ORGANO6) 0.500000 0.000000
ORGANO7) 57.500000 0.000000
Nel nostro caso ne abbiamo solo due, ovvero quelle relative agli organi 1 e 4. Come scegliere tra le due? I prezzi ombra non ci aiutano dato che sono uguali, l'analisi di sensitività non ci dice nulla sul come cambierebbe il valore ottimo rimuovendo il vincolo, quindi facciamo l'analisi parametrica di entrambi i vincoli e confrontiamo tra le soluzioni ottenute qual è la migliore.
Organo 1:
RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: ORGANO1
VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ
OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL
55.0000 2.50000 245.500
SLK 8 SLK 6 8 56.0000 2.50000 248.000
SLK 14 SLK 3 10 57.0000 1.66667 249.667
1000.00 0.000000E+00 249.667
Eliminando il vincolo sull'organo 1 raggiungiamo un valore di 249.667
Organo 4:
RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: ORGANO4
VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ
OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL
24.0000 2.50000 245.500
SLK 8 SLK 6 8 24.3333 2.50000 246.333
1000.00 0.000000E+00 246.333
Eliminando il vincolo sull'organo 4 raggiungiamo un valore di 246.333
Quindi conviene eliminare il vincolo sull'organo 1.
Torna alla pagina di Ricerca Operativa
