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:: Ricerca Operativa - PL - Elettrodomestici - 24.07.07 ::
Testo del problema
Un rivenditore di elettrodomestici si rifornisce settimanalmente presso l’impianto di produzione. Il mezzo di trasporto utilizzato per il rifornimento è un furgone di capacità limitata. Gli elettrodomestici prima di essere venduti devono essere ispezionati e collaudati e ciò richiede un certo tempo da parte degli addetti del negozio.
La casa produttrice degli elettrodomestici inoltre impone che quando un rivenditore autorizzato si rifornisce dal grossista, egli acquisti elettrodomestici in proporzioni variabili entro certi limiti.
Il rivenditore conosce il prezzo di vendita sul mercato dei vari elettrodomestici.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file ELETTRODOMESTICI.TXT.
Dati
Tabella 1: Prezzi di vendita degli elettrodomestici
Prodotto Prezzo (Euro/pezzo)
Forno a microonde 130
Friggitrice 50
Frullino 20
Tabella 2: Volume occupato nel veicolo
Prodotto Volume (litri/pezzo)
Forno a microonde 40
Friggitrice 75
Frullino 12
La capacità del veicolo è di 7200 litri.
Tabella 3: Tempo di ispezione e collaudo
Prodotto Tempo (min/pezzo)
Forno a microonde 10
Friggitrice 5
Frullino 5
Il tempo disponibile ogni settimana per l'ispezione e il collaudo è di 1
ora al giorno da parte di ciascuno dei 4 tecnici del negozio.
Tabella 4: Limiti alle proporzioni di elettrodomestici acquistati
Prodotto Percentuale min e max sul totale di pezzi acquistati
Forno a microonde 10 50
Friggitrice 5 40
Frullino 30 50
La settimana comprende 5 giorni lavorativi.
Formulazione del problema
Dati
- prodotti = 3 (numero di prodotti)
- prezzoi (prezzo del prodotto i=1..3) [€]
- capacita = 7200 (capacità massima del furgone) [litri]
- voli (volume occupato dal prodotto i=1..3) [litri]
- tempoIspColli (tempo di ispezione e collaudo del prodotto i=1..3) [minuti/giorno]
- tempoDisp = 1200 (tempo disponibile in un giorno per l'ispezione e il collaudo) [minuti/settimana]
- propMini (percentuale minima sul totale di prodotti i=1..3 acquistati) [%]
- propMaxi (percentuale massima sul totale di prodotti i=1..3 acquistati) [%]
Variabili
- xi (quantità di prodotto i acquistato in una settimana)
La variabile è continua e non negativa.
Funzione obiettivo
max (somma)i xi * prezzoi
Vincoli
- vincolo sulla capacità del furgone:
(somma)i xi * voli <= capacita
- vincolo sul tempo disponibile per ispezione e collaudo al giorno:
(somma)i xi * tempoIspColli <= tempoDisp
- vincolo sulla percentuale minima da acquistare sul totale dei prodotti:
[xi / ((somma)i xi)] >= propMini
che dovrò linearizzare...
xi >= ((somma)i xi) * propMini
e spostare i termini noti a sinistra:
xi - ((somma)i xi) * propMini >= 0
Dato però che in Lindo non si riesce proprio ad associare un coefficiente a una somma di tre variabili, dovremo per forza definire una variabile ausiliaria che rappresenti tale somma. Quindi:
x1 + x2 + x3 - tot = 0
Questa variabile tot la useremo nell'ultimo vincolo che abbiamo scritto sopra, e giuro che abbiamo finito:
xi - tot * propMini >= 0
- vincolo sulla percentuale massima da acquistare sul totale dei prodotti (applico da subito le trasformazioni viste per il vincolo precedente):
xi - tot * propMaxi <= 0
Lindizzazione del problema
! esercizio - Elettrodomestici
! variabili: x(i) = quantità di prodotto i acquistato
! la variabile è continua e non negativa
! funzione obiettivo
max 130 x1 + 50 x2 + 20 x3
st
! vincolo sulla capacità del furgone
capac) 40 x1 + 75 x2 + 12 x3 <= 7200
! vincolo sul tempo disponibile per ispezione e collaudo
tempo) 10 x1 + 5 x2 + 5 x3 <= 1200
! vincolo per definire la variabile ausiliaria tot
tot) x1 + x2 + x3 - tot = 0
! vincolo sulla percentuale minima
min1) x1 - 0.10 tot >= 0
min2) x2 - 0.05 tot >= 0
min3) x3 - 0.30 tot >= 0
! vincolo sulla percentuale massima
max1) x1 - 0.50 tot <= 0
max2) x2 - 0.40 tot <= 0
max3) x3 - 0.50 tot <= 0
end
Altre domande
Quali tipi di elettrodomestico è conveniente vendere e quali no?
Bisogna guardare il report del risultato, in particolare in corrispondenza dei vincoli minimi sulle percentuali alla colonna "Slack or surplus":
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
CAPAC) 1024.000000 0.000000
TEMPO) 0.000000 10.800000
TOTAUS) 0.000000 -4.000000
MIN1) 64.000000 0.000000
MIN2) 24.000000 0.000000
MIN3) 0.000000 -30.000000
MAX1) 0.000000 26.000000
MAX2) 32.000000 0.000000
MAX3) 32.000000 0.000000
E' evidente che il prodotto più conveniente da produrre è il primo (che ha valore 64), mentre il meno conveniente è il terzo che è attivo (ha valore 0).
Per ogni elettrodomestico non conveniente, quale è il minimo aumento di prezzo che lo potrebbe rendere conveniente?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo osservare i risultati dell'analisi di sensitività, in cui vediamo che:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 130.000000 INFINITY 39.000000
X2 50.000000 22.941177 30.000000
X3 20.000000 30.000000 270.000000
TOT 0.000000 39.000000 81.000000
Quindi perché il terzo prodotto diventi conveniente bisognerà aumentare il suo prezzo di 30 unità.
Quali sono le risorse scarse?
Le due risorse in esame sono la capacità del furgone e il tempo disponibile, e dal report del risultato osserviamo che:
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
CAPAC) 1024.000000 0.000000
TEMPO) 0.000000 10.800000
Ovvero è il tempo la risorsa scarsa, dal momento che il suo vincolo è attivo (vale 0).
Quanto dovrebbe essere disposto a pagare il rivenditore per assumere un tecnico in più per l’ispezione ed il collaudo degli elettrodomestici?
Assumendo un altro tecnico avremo 5 * 60 = 300 minuti in più a settimana per il collaudo. Facciamo quindi l'analisi parametrica del problema, aumentando il valore del termine noto del vincolo sul tempo da 1200 a 1500.
RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: TEMPO
VAR VAR PIVOT RHS DUAL PRICE OBJ
OUT IN ROW VAL BEFORE PIVOT VAL
1200.00 10.8000 12960.0
SLK 2 SLK 7 2 1398.96 10.8000 15108.8
1500.00 8.34921 15952.4
Osserviamo dalla colonna "Dual price" che i prezzi-ombra del vincolo scendono, ma il valore ottimo aumenta di 15952.4 - 12960.0 = 2992,4 €. Questa cifra è esattamente quella che il rivenditore dovrebbe essere disposto a pagare per un tecnico in più.
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