Swappa : Uni / Ricerca Operativa - PL - Vigneto

Torna alla pagina di Ricerca Operativa

 :: Ricerca Operativa - PL - Vigneto - 27.06.06 ::

Testo del problema

Un’azienda vinicola possiede un dato appezzamento di terreno e deve suddividerlo in zone coltivate con diversi tipi di vitigni. Di ogni tipo è noto quanti litri di vino rende per ogni metro quadrato coltivato e quale è il suo prezzo di vendita stimato.
L’azienda vuole ovviamente massimizzare i propri profitti, ma nel rispetto di alcuni vincoli. Anzitutto tutti i tipi di vitigno devono essere coltivati e per ciascuno di essi esiste una quantità minima di produzione di vino che deve essere assicurata comunque. Esiste anche un limite massimo di produzione per ogni tipo. Inoltre esistono dei vincoli nei rapporti tra i diversi vitigni: in particolare il rapporto tra le aree coltivate con tipi di vitigno diversi non deve superare il limite di 3:1. Anche il rapporto tra le quantità di vini di diverso tipo che vengono prodotti non deve superare il rapporto di 4:1.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file VIGNETO.TXT.

Dati

Ci sono 5 tipi di vitigno: Silvaner, Riesling, Pinot, Mueller-Thurgau, Merlot.

=====================================================

Tabella 1: Resa della superficie coltivata (litri/mq)

Vitigno      Resa

Silvaner      1.2
Riesling      0.9
Pinot         1.0
Mueller-T.    0.8
Merlot        1.4

=====================================================

Tabella 2: Prezzo di vendita (Euro/litro)

Vitigno      Prezzo

Silvaner      4.50
Riesling      5.00
Pinot         4.00
Mueller-T.    3.00
Merlot        3.50

=====================================================

Tabella 3: Limiti minimi e massimi di quantità di vino prodotta (litri)

Vitigno      Minimo   Massimo

Silvaner     150000   1500000
Riesling     200000   1200000
Pinot        100000    950000
Mueller-T.   150000    800000
Merlot       100000   1500000

=====================================================

Tabella 4: Coltivazione attuale (ettari)

Silvaner     95
Riesling    125
Pinot        95
Mueller-T.  100
Merlot       85

Formulazione del problema

Dati

v = 5 (numero vitigni)
resa_i (resa del vitigno i=1..5 sulla superficie coltivata) [litri/mq]
pr_i (prezzo di vendita stimato del vitigno i=1..5) [€/litro]
qmin_i (quantità minima di vino i=1..5 prodotto) [litri]
qmax_i (quantità massima di vino i=1..5 prodotto) [litri]
sup = 500 (superficie appezzamento di terreno) [ettari]

Nota: 500 ettari = 500 * 10000 [mq]

Variabili

x_i >= 0 (quantità di vino i=1..5 da produrre) [litro]
y_i >= 0 (superficie coltivata con il vino i=1..5) [ettari]

Le variabili sono continue e non negative.

Funzione obiettivo

max (somma)_i pr_i * x_i [€/litro]

Vincoli

vincolo su quantità minime di vino prodotto:
x_i >= qmin_i (per ogni i) [litri]
vincolo su quantità massime di vino prodotto:
x_i <= qmax_i (per ogni i) [litri]
vincolo sulla massima superficie coltivabile:
(somma)_i y_i = sup [ettari]
vincolo che lega le superfici con la quantità:
x_i = y_i * resa_i * 10000 [litri]
vincolo che limita la superficie di ogni vitigno rispetto agli altri:
y_i <= 3 y_j (per ogni i=1..5 e j=1..5, con i<>j) [ettari]
vincolo che limita la quantità di vino prodotto rispetto agli altri:
x_i <= 4 x_j (per ogni i=1..5 e j=1..5, con i<>j) [litri]

Lindizzazione del problema

! esercizio - Vigneto

! variabili: x(i) = quantità di vino i da produrre [litri]
! 		 y(i) = superficie coltivata con il vino i [ettari]
! le variabili sono continue e non negative

! funzione obiettivo;
max 4.5 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 + 3.5 x5

st

! vincoli su quantità minime e massime di vino prodotto;
qMin1) x1 >= 150000
qMin2) x2 >= 200000
qMin3) x3 >= 100000
qMin4) x4 >= 150000
qMin5) x5 >= 100000

qMax1) x1 <= 1500000
qMax2) x2 <= 1200000
qMax3) x3 <=  950000
qMax4) x4 <=  800000
qMax5) x5 <= 1500000

! vincolo su massima superficie coltivabile;
maxSup) y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 500

! vincoli che legano le superfici con le quantità;
supQua1) x1 - 12000 y1 = 0
supQua2) x2 - 9000 y2 = 0
supQua3) x3 - 10000 y3 = 0
supQua4) x4 - 8000 y4 = 0
supQua5) x5 - 14000 y5 = 0

! vincoli che limitano la superfice di ogni singolo vitigno;
limSu12) y1 - 3 y2 <= 0
limSu13) y1 - 3 y3 <= 0
limSu14) y1 - 3 y4 <= 0
limSu15) y1 - 3 y5 <= 0
limSu21) y2 - 3 y1 <= 0
limSu23) y2 - 3 y3 <= 0
limSu24) y2 - 3 y4 <= 0
limSu25) y2 - 3 y5 <= 0
limSu31) y3 - 3 y1 <= 0
limSu32) y3 - 3 y2 <= 0
limSu34) y3 - 3 y4 <= 0
limSu35) y3 - 3 y5 <= 0
limSu41) y4 - 3 y1 <= 0
limSu42) y4 - 3 y2 <= 0
limSu43) y4 - 3 y3 <= 0
limSu45) y4 - 3 y5 <= 0
limSu51) y5 - 3 y1 <= 0
limSu52) y5 - 3 y2 <= 0
limSu53) y5 - 3 y3 <= 0
limSu54) y5 - 3 y4 <= 0

! vincoli che limitano la quantità di vino prodotto;
limVi12) x1 - 4 x2 <= 0
limVi13) x1 - 4 x3 <= 0
limVi14) x1 - 4 x4 <= 0
limVi15) x1 - 4 x5 <= 0
limVi21) x2 - 4 x1 <= 0
limVi23) x2 - 4 x3 <= 0
limVi24) x2 - 4 x4 <= 0
limVi25) x2 - 4 x5 <= 0
limVi31) x3 - 4 x1 <= 0
limVi32) x3 - 4 x2 <= 0
limVi34) x3 - 4 x4 <= 0
limVi35) x3 - 4 x5 <= 0
limVi41) x4 - 4 x1 <= 0
limVi42) x4 - 4 x2 <= 0
limVi43) x4 - 4 x3 <= 0
limVi45) x4 - 4 x5 <= 0
limVi51) x5 - 4 x1 <= 0
limVi52) x5 - 4 x2 <= 0
limVi53) x5 - 4 x3 <= 0
limVi54) x5 - 4 x4 <= 0

end

Altre domande

Si conosce la suddivisione operata attualmente dall’azienda vinicola: si vuole sapere (a) se è ammissibile, (b) se è ottima, (c) di quanto può essere migliorata nel caso non sia ottima.

La suddivisione attuale è quella riportata nella tabella 4 dei dati. E' ammissibile, ma non è ottima: quella calcolata col nostro programma ha valore 22630950, mentre quella con i dati attuali è pari a 21120000 (per calcolarla basta fissare le x_i nel modello ai valori dati nel testo e risolvere il problema).

Indicare quali vincoli sono attivi e quale sarebbe il miglioramento percentuale ottenibile in termini di profitti (a) se non esistessero i vincoli sui rapporti tra le aree, (b) se non esistessero i vincoli sui rapporti tra le quantità di vini prodotte, (c) se non esistessero né gli uni né gli altri.

Per vedere quali vincoli sono attivi all'ottimo basta osservare il report:

 ROW   SLACK OR SURPLUS     DUAL PRICES
    QMIN1)   1350000.000000          0.000000
    QMIN2)   1000000.000000          0.000000
    QMIN3)    776488.125000          0.000000
    QMIN4)    225000.000000          0.000000
    QMIN5)   1400000.000000          0.000000
    QMAX1)         0.000000          0.666667
    QMAX2)         0.000000          0.555556
    QMAX3)     73511.906250          0.000000
    QMAX4)    425000.000000          0.000000
    QMAX5)         0.000000          0.642857
   MAXSUP)         0.000000      40000.000000
  SUPQUA1)         0.000000          3.333333
  SUPQUA2)         0.000000          4.444445
  SUPQUA3)         0.000000          4.000000
  SUPQUA4)         0.000000          5.000000
  SUPQUA5)         0.000000          2.857143
  LIMSU12)       275.000000          0.000000
  LIMSU13)       137.946426          0.000000
  LIMSU14)        15.625000          0.000000
  LIMSU15)       196.428574          0.000000
  LIMSU21)       241.666672          0.000000
  LIMSU23)       129.613098          0.000000
  LIMSU24)         7.291667          0.000000
  LIMSU25)       188.095245          0.000000
  LIMSU31)       287.351196          0.000000
  LIMSU32)       312.351196          0.000000
  LIMSU34)        52.976189          0.000000
  LIMSU35)       233.779755          0.000000
  LIMSU41)       328.125000          0.000000
  LIMSU42)       353.125000          0.000000
  LIMSU43)       216.071426          0.000000
  LIMSU45)       274.553558          0.000000
  LIMSU51)       267.857147          0.000000
  LIMSU52)       292.857147          0.000000
  LIMSU53)       155.803574          0.000000
  LIMSU54)        33.482143          0.000000
  LIMVI12)   3300000.000000          0.000000
  LIMVI13)   2005952.375000          0.000000
  LIMVI14)         0.000000          0.500000
  LIMVI15)   4500000.000000          0.000000
  LIMVI21)   4800000.000000          0.000000
  LIMVI23)   2305952.500000          0.000000
  LIMVI24)    300000.000000          0.000000
  LIMVI25)   4800000.000000          0.000000
  LIMVI31)   5123512.000000          0.000000
  LIMVI32)   3923512.000000          0.000000
  LIMVI34)    623511.875000          0.000000
  LIMVI35)   5123512.000000          0.000000
  LIMVI41)   5625000.000000          0.000000
  LIMVI42)   4425000.000000          0.000000
  LIMVI43)   3130952.500000          0.000000
  LIMVI45)   5625000.000000          0.000000
  LIMVI51)   4500000.000000          0.000000
  LIMVI52)   3300000.000000          0.000000
  LIMVI53)   2005952.375000          0.000000
  LIMVI54)         0.000000          0.000000

I vincoli attivi sono dunque: quelli sulle quantità massime dei vini 1, 2, 5; quelli sui rapporti (4:1) tra quantità dei vini 1 e 4, e 5 e 4.
Se non esistessero i vincoli dei rapporti tra le aree non cambierebbe nulla dato che nessuno di questi vincoli è attivo; se invece non esistessero quelli dei rapporti tra quantità la soluzione migliorerebbe assestandosi a 22671070 euro. Se non esistessero entrambi la soluzione migliorerebbe ulteriormente: perché? Perché eliminando i vincoli dei rapporti tra quantità si attiva un vincolo di rapporto tra aree, ma se ignoriamo anche quest'ultimo lasciamo che il valore ottimo aumenti indisturbato.

Un podere confinante, attualmente incolto, può essere acquistato per allargare il vigneto dell’azienda, al prezzo di 3 Euro/mq ma in tal caso deve essere acquistata un’area di almeno 10 ettari. Dire se è conveniente acquistare ulteriore area coltivabile, in che misura e con quali conseguenze.

Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare l'analisi parametrica sul vincolo relativo alla superficie totale disponibile, impostandolo ad esempio (abbondando) a 1000.

RIGHTHANDSIDE PARAMETRICS REPORT FOR ROW: MAXSUP

    VAR       VAR    PIVOT    RHS       DUAL PRICE      OBJ
    OUT       IN      ROW     VAL      BEFORE PIVOT     VAL

                            500.000       40000.0      0.226310E+08
 SLK    9  SLK   40    11   507.351       40000.0      0.229250E+08
 SLK   10  ART         10   560.476       24000.0      0.242000E+08
                            1000.00       -INFINITY   INFEASIBLE

Osserviamo che fino ai 507.351 ettari il valore della superficie è pari a 40000 euro/ettaro, e che il valore ottimo aumenta a 22925000 euro; oltre quella soglia il valore della superficie scende a 25000 euro/ettaro.
Se acquistiamo 10 ettari (per un totale di 510) calcoleremo il valore ottimo come:

22925000 [euro]  +  (25000 [euro/ettaro] * (510 - 507.351) [ettari]) =
= 22925000 [euro]  +  66225 [euro]  =  22991225 [euro]
  ---------------    -------------
  contributo fino     contributo
  a 507.351 ettari   oltre i 507.351
                       ettari

Abbiamo perciò un incremento del valore ottimo di 22991225 - 22631000 = 360225 [euro]. La spesa è di 3 [euro/mq] * 100000 [mq] = 300000 [euro], quindi i ricavi superano i costi, quindi ci conviene acquistare quei 10 ettari.

Acquistarne di più non ci conviene, perché il prezzo duale della risorsa è 25000 [euro/ettaro], quindi 2.5 [euro/mq]. Dato che un metro quadrato ci costa 3 euro, non conviene.

Torna alla pagina di Ricerca Operativa