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:: Ricerca Operativa - PNL - Atomi - 24.07.07 ::
Testo del problema
Nell’intorno di un atomo l’energia di interazione tra l’atomo stesso e un altro atomo “sonda” che gli viene avvicinato è dato dalla formula
dove A e B sono parametri caratteristici dell’atomo mentre r è la distanza Euclidea tra l’atomo e la sonda.
E’ data una configurazione tridimensionale di alcuni atomi, supposti puntiformi e si vuole trovare il punto di minima energia a cui la sonda (anch’essa supposta puntiforme) tende a stabilizzarsi per effetto delle interazioni con gli atomi stessi.
Formulare il problema, classificarlo e risolverlo con i dati del file ATOMI.TXT.
Dati
Gli atomi sono 10.
Le posizioni degli atomi sono le seguenti:
Atomo x y z
1 3.2 2.5 4.8
2 2.1 3.7 8.4
3 7.5 2.5 5.0
4 6.6 1.2 4.5
5 0.8 5.1 5.6
6 6.3 8.8 3.5
7 2.4 1.0 3.1
8 1.2 4.6 9.0
9 8.5 7.8 1.5
10 4.1 9.3 0.9
I valori dei parametri A e B sono i seguenti:
Atomo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 1.0 1.1 2.1 3.0 0.5 0.2 0.8 1.1 1.5 1.7
B 200 400 320 250 400 200 120 300 100 500
Formulazione del problema
Dati
- atomi = 10 (numero di atomi)
- assi = 3 (numero di assi che compongono una coordinata)
- coordij (coordinata dell'atomo i=1..10 sull'asse j=1..3)
- parAi (valore del parametro A per l'atomo i=1..10)
- parBi (valore del parametro B per l'atomo i=1..10)
Variabili
- xj (coordinate della sonda sugli assi indicati da j=1..3)
La variabile è libera.
Funzione obiettivo
Vogliamo minimizzare l'energia a cui la sonda tende a stabilizzarsi. Questo valore si calcola come la somma dei contributi dati all'energia da tutte le interazioni con gli atomi.
min (somma)i [(parAi / r12i) – (parBi / r6i)]
Notare che abbiamo introdotto le due variabili ausiliarie r12 ed r6, che definiremo poi come vincoli di uguaglianza.
Vincoli
- vincolo per definire r12 come la distanza euclidea tra l'atomo i e la sonda:
'''r12 = [(somma)j (xj – coordij)2]6 (per ogni i)
- vincolo per definire r6 come la distanza euclidea tra l'atomo i e la sonda:
'''r6 = [(somma)j (xj – coordij)2]3 (per ogni i)
Linghizzazione del problema
! problema - Atomi;
model:
sets:
atomo /1..10/: parA, parB, r12, r6;
assi /1..3/: x;
posizione (atomo,assi): coord;
endsets
data:
parA = 1.0 1.1 2.1 3.0 0.5 0.2 0.8 1.1 1.5 1.7;
parB = 200 400 320 250 400 200 120 300 100 500;
coord = 3.2 2.5 4.8
2.1 3.7 8.4
7.5 2.5 5.0
6.6 1.2 4.5
0.8 5.1 5.6
6.3 8.8 3.5
2.4 1.0 3.1
1.2 4.6 9.0
8.5 7.8 1.5
4.1 9.3 0.9;
enddata
! funzione obiettivo;
min = @sum(atomo(i): (parA(i)/r12(i)) - (parB(i)/r6(i)));
! vincolo per definire r12;
@for(atomo(i): r12(i) = (@sum(assi(j): (x(j)-coord(i,j))^2))^6);
! vincolo per definire r6;
@for(atomo(i): r6(i) = (@sum(assi(j): (x(j)-coord(i,j))^2))^3);
! dichiarazione variabile libera x;
@for(assi(j): @free(x(j)));
end
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