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In questa pagina si trovano gli appunti del breve seminario tenuti dal professor Giuliano Strini, dell'Università di Milano, in tema di Crittografia Quantistica, il 26 novembre 2008 in aula A Sud.

Disclaimer

Informiamo subito che il trascrittore non ha conoscenze pregresse specifiche di fisica quantistica, e quindi è lecito aspettarsi svarioni e cappellate. Ma d'altronde, se nessun'altro conosce la fisica quantistica, è anche probabile che nessuno se ne accorgerà mai:D

Inoltre, sugli stessi lucidi del prof. Strini sono comparse in modo inequivocabile le scritte mistero assoluto e magia nera. Avvisiamo quindi i gentili lettori che possono trovare cose improbabili, nelle righe seguenti:)

Un po' di storia

Tutto nasce nel 1814, quando Fraunhofer vede le righe spettrali (quelle che si vedono analizzando lo spettro luminoso di corpi caldi). Si vede lo spettro, e si vedono le righe, e le righe non c'è modo di spiegarle tramite la fisica classica: è necessario inventarsi qualcosa di nuovo.

Nel 1876 un certo Bartoli (l'unico italiano in tutto il discorso sulla quantistica, professor Strini a parte:)) con certi specchi, sfruttando l'effetto Doppler (quello che fa sì che una sirena, quando si avvicina a noi, la sentiamo salire di tono, e quando si allontana invece scendere) riesce a trasmettere calore da una sorgente fredda ad una più calda. Ovviamente ci suona abbastanza innaturale, ma tant'è: se scopro come ha fatto lo replico subito per riscaldare la casa.

Verso la fine dell'Ottocento i produttori di lampadine spronavano la ricerca sulle irradiazioni, e da lì nasce la faccenda del Corpo Nero, che è il corpo che assorbe tutte le radiazioni. I modelli classici non sono in grado di descrivere l'irraggiamento, perché portano a teorizzare emissioni infinite: così non avviene nella realtà.

Planck inventa una legge empirica per interpolare le leggi che regolano i fenomeni a bassa ed alta ampiezza d'onda. Per puro caso la sua legge empirica è stata indovinata, ed è stata tenuta buona. Ma per spiegare le leggi di Planck, occorre ammettere che la radiazione sia emessa in quanti di energia, e non in modo continuo. Così è in grado di spiegare la fisica del Corpo Nero.

Parlare di quanti vuol dire che l'emissione di energia non è continua. Supponiamo di avere un varialuce atomico: oltre un certo grado di finezza non è possibile ruotarlo, ma ci saranno per forza dei gradini. Un elettrone ha tot energia, e se varia va nel livello superiore o in quello inferiore, mai nelle vie di mezzo. L'oscillatore ideale (un qualsiasi oggetto che emetta radiazioni in modo armonico) deve quindi produrre onde a salti. Da notare invece che il campo elettromagnetico si spiega con la fisica classica: viene usato per approssimarla a partire da certe dimensioni dove parlare di elettroni e quanti sarebbe troppo scomodo.

Bohr, quando inventa il suo modello per l'atomo di idrogeno (e solo per quello) utilizza una certa costante che Planck aveva introdotto, scoprendo che andava bene anche per le sue teorie. Qualcuno si oppone perché non vede il nesso tra il corpo nero e l'atomo. L'atomo di Elio viene invece calcolato solo nel 1928 da Hylleraas, e ci si è fermati lì: gli altri atomi sono solo approssimati, e non calcolati per bene come questi due.

Nel 1905 Einstein, che all'epoca lavora ancora all'ufficio brevetti, sostiene che i fotoni sono necessari. Dice che E = hf, dove h è la costante di Planck, f è la frequenza e E è l'energia del fotone. Va ricordato che la più famosa E = mc² è sì simile, ma si usa su fenomeni che hanno ben altre dimensioni, paragonabili alla velocità della luce, mentre per quanto riguarda i quanti su usa la h, cioè la costante di Planck, perché è più alla portata.

Ma anche questa storia dei fotoni crea problemi, perché non spiegano i fenomieni di diffrazione e rifrazione. E poi: che cosa diavolo sono i fotoni?

Einstein inventa anche la teoria della Nadelstrahlung, ovvero emissione ad aghi, in tedesco. Le radiazioni in genere sono emesse in un campo che, attorno ad un punto, è sferico. Se ho più di un polo le cose cambiano ma ciò non toglie che le radiazioni si propagano sfericamente. Essendo invece l'atomo così piccolo, non emette radiazioni dappertutto, ma solo in certe direzioni che vanno immaginate appunto come aghi che partono dall'atomo, e quando partono l'atomo rincula per la botta. Ciò porta a tutta una serie di problemi non trattati in questa sede. La causa va ricercata nel fatto che l'atomo è più piccolo, in dimensioni, della lunghezza d'onda che produce. Qualsiasi cosa sia, l'effetto Compton confermerà questa teoria.

De Broglie, nel 1923, associa le particelle a onde tramite la formula λ = h/p, dove λ è la lunghezza d'onda e la p non ho capito. Se sono onde, allora avranno anche una lunghezza d'onda, e qui entra in campo Schrödinger che farà di tutto per dimostrare che De Broglie ha sbagliato, scrivendo le sue famose (?) equazioni.

Ci sono poi i Thomson, padre e figlio: il padre vince il Nobel dimostrando che gli elettroni sono particelle, tramite esperimenti legati al tubo catodico. Il figlio vince il Nobel dimostrando che gli elettroni sono onde, spiegando così la diffrazione.

Poi, c'è la faccenda misteriosa della ψ. Questa lettera, la psi, salta fuori diverse volte nelle equazioni di questi anni, ma ogni volta qualcuno le dà un significato diverso:

per Bohr |ψ|² è una densità di probabilità della posizione della particella, eg un elettrone attorno ad un atomo
per Schrödinger è la densità della particella
per Von Neuman è legata alla funzione d'onda e rappresenta la conoscenza che l'osservatore ha di quella particella
per Heisenberg ψ è la potenza della particella, dove per potenza si intende la capacità di essere qualcosa in senso aristotelico

Probabilmente in realtà è solamente un artificio matematico che serve per fare i calcoli. D'altronde, ci insegna Strini, un conto è saper far bene i calcoli, un conto è sapere che cosa stiamo facendo...

A questo punto, occorre quindi precisare che quando si parla di fotoni, se li si intende "scattosi" allora si parla propriamente di meccanica quantistica; se li si intende a onda si parla di meccanica ondulatoria, e le cose sono abbastanza diverse.

Dopo il 1935 e il paradosso del gatto, Schrödinger decide di abbandonare la ricerca sulla meccanica quantistica perché si stavano introducendo troppe cose assurde. Idem farà Einstein. Purtroppo per loro, le cose assurde sono state poi verificate in laboratorio.

Infine, bisogna sapere che fino ad un certo punto le emissioni di radiazioni possono seguire un modello semiclassico, seguendo la prima parte di una curva che sembra la gaussiana. Il massimo di questa gaussiana, prima del quale si è nel modello semiclassico e dopo il quale si va nella fotonaggine, è stato scoperto da un certo Wien. Pare che Strini abbia avuto una certa parte nel riconoscere alle formule di Wien la funzione di "divisore" delle meccaniche.

Crittografia quantistica

La crittografia quantistica ha un suo fondamento nel seguente teorema: se la meccanica quantistica è vera, allora la crittografia quantistica è inespugnabile. E siccome da 80 non si trovano esperimenti negativi che smentiscano la meccanica quantistica, si presume che essa sia vera, e che quindi la crittografia quantistica sarà veramente inespugnabile.

Per capire perché dobbiamo prima rifarci ad un certo esperimento, che ci servirà per introdurre un certo protocollo quantistico.

Dobbiamo prendere in considerazione la luce polarizzata. Non importa sapere che cosa sia: si tratta comunque di quella particolare luce che crea i riflessi eg sulle macchine, e che se mettiamo gli occhiali polarizzati si riducono fortemente. Basta sapere che si può polarizzare la luce di un certo angolo rispetto ad un piano, e quest'angolo si chiama β.

Finché la luce è abbastanza intensa (cioè è composta da tanti fotoni), se arriva in uno splitter che divide la luce, essa va un po' da un lato e un po' da un altro dello splitter. In particolare, lo splitter la divide nelle sue componenti, pertanto avremo un lato dello splitter che riceve tanta luce quanta cos²β, e l'altro invece ne riceve tanta quanto sin²β.

Se la luce viene attenuata, fino ad essere 1 solo fotone, come si comporterà il fotone in prossimità dello splitter?

Beh, la risposta è che si muoverà a caso: con una certa probabilità andrà da un lato, e con un'altra probabilità andrà nell'altro. In particolare, andrà da un lato con probabilità cos²β, e dall'altro con probabilità sin²β.

Mettiamoci ora nei panni di un osservatore che è in grado di vedere dove va a finire un fotone dopo lo splitter: o va da un lato, o va dall'altro.

La domanda è: vedendo un solo fotone, sono in grado di dire qual'è l'angolo originale di esso, cioè la sua polarizzazione?

La risposta è NO: infatti, se va da una parte so che cos²β, e se va dall'altra so che sin²β. Questo vuol dire che non sono in grado di fare la radice e ricostruire l'angolo, perché sia il seno che il coseno sono ciclici.

Questo allora spiega il teorema di no cloning: osservando un solo fotone, non si è in grado di replicarlo in alcun modo, perché non ci sono abbastanza informazioni per ricostruire l'angolo β originale. Si può altrimenti esprimere dicendo che un singolo fotone porta un singolo bit di informazioni, e che un bit solo non è abbastanza per ricostruire l'angolo.

Pertanto, se io mi metto a guardia dello splitter e intercetto un fotone, poi non sono in grado di rimandarlo uguale, perché non sono in grado di ricostruirne l'angolo di polarizzazione.

Ora, tenendo fermo questo teorema, passiamo al...

Protocollo BB84

Dobbiamo immaginare i soliti Alice e Bob che cercano di comunicare. L'idea è questa:

Alice genera una sua sequenza di 0 e 1 casuali
Bob genera la sua sequenza di 0 e 1 casuali

Le sequenze sono indipendenti, e ci va bene così. Alice e Bob vogliono scambiarsi in modo sicuro la chiave di un qualsiasi algoritmo di cifratura, codificata in 0 e 1.

Adesso vediamo che cosa fa Alice.
Alice prende i suoi 0 e 1 generati a caso, e dice così:

se bit = 0, trasmetto il fotone con una polarizzazione lineare verticale
se bit = 1, trasmetto il fotone con una polarizzazione circolare destra

e trasmette i suoi fotoni uno alla volta sulla fibra ottica.

Bob riceve i fotoni uno alla volta. Al fotone in arrivo applica una polarizzazione, che dipende dalla sua sequenza casuale. In particolare:

se la sua sequenza contiene uno 0, allora pratica al fotone in arrivo una polarizzazione lineare orizzontale
se la sua sequenza contiene un 1, pratica al fotone in arrivo una polarizzazione circolare sinistra

Se vi va tutto in confusione, rileggete i due procedimenti, quello di Alice e quello di Bob, finché non sono chiari:)

Immaginiamo ora che Alice ha la sequenza 0110, e Bob la sequenza 1010.

1° numero della sequenza: Alice trasmette 0 con polarizzazione circolare destra. Bob lo decodifica con il suo primo numero, cioè con un 1: applica una polarizzazione lineare orizzontale. Risultato: NIENTE! Polarizzando in questo modo non si ottiene nulla!

2° numero della sequenza: Alice trasmette 1, Bob decodifica con 0 => risultato è niente come sopra.

3° numero della sequenza: Alice trasmette 1, polarizzandolo circolarmente a sinistra. Bob lo decodifica applicando la trasformazione del suo 1, che è circolare a destra, e il risultato è che Bob VEDE il fotone. Avendo visto il fotone, comunica ad Alice su un qualsiasi canale, anche non protetto, che ha visto il fotone, e così sia lui che lei sanno di essersi scambiati un 1.

Il 4° numero della sequenza lo lascio alla vostra immaginazione.

Quello che sta sotto alla scelta della polarizzazione è la roba seguente:

se polarizzo linearmente in verticale, per vedere il fotone devo polarizzare linearmente in orizzontale
se polarizzo circolarmente a destra, per vedere il fotono devo polarizzare circolarmente a sinistra
in tutti gli altri casi, il fotone se ne va e io non lo osservo più

In questo modo, solo se Alice e Bob hanno lo stesso numero nella stessa posizione della sequenza sono in grado di comunicarselo. In altre parole, se Bob riceve il bit, è sicuro di averlo ricevuto corretto, proprio perché è stato in grado di de-polarizzarlo in modo corretto.

Quindi, ho probabilità 1/2 di avere lo stesso bit nella stessa posizione della sequenza, sia per Alice che per Bob.

E adesso torniamo allo splitter. Quando il fotone arriva allo splitter, con una certa probabilità va da un lato, e con un'altra va da un lato. Se supponiamo che abbia il 50 e 50 di probabilità, e mettiamo lo splitter TRA Alice e Bob, vuol dire che un fotone che parte da Alice ha il 50% di probabilità di passare lo splitter, e il 50% di probabilità di essere decodificato correttamente da Bob: in totale, Bob ha il 75% di probabilità di NON decodificare il fotone, per un motivo o per l'altro.

Quando Bob decodifica, mette al corrente Alice: entrambi sanno qual'è il bit attuale. Quel bit allora andrà a far parte della chiave del mio algoritmo. Questo vuol dire che Alice non sa in partenza quale sia la chiave: lascia che i fotoni "decidano" per lei, perché questo le permette di mettersi d'accordo con Bob. Inoltre, non ha importanza che il messaggio di Bob "Si, ho ricevuto il fotone" venga trasmesso su un canale sicuro: infatti Bob dice solamente che ha ricevuto il fotone, ma non QUALE fotone, e con che valore.

Adesso introduciamo il Cattivo. Il Cattivo vuole spiare la comunicazione della chiave tra Alice e Bob. Semplice, diremo noi: infila uno splitter nella fibra ottica, legge il fotone di Alice, lo decodifica allo stesso modo di Bob, e poi lo rispedisce a Bob così che Bob non si accorge di nulla.

E invece no. Per il teorema di no cloning, abbiamo detto che è impossibile inviare un fotone uguale a quello ricevuto da uno splitter. Ciò implica che Cattivo non è in grado di replicare il fotone così che Bob lo legge.

Anche qui: chissenefrega? Basta che Alice sia convinta di parlare con Bob, mentre sono io a farne le veci... Replico a Bob il fotone che mi pare, e al max Bob ha una chiave inutilizzabile.

E invece anche questo è falso:) Il motivo è che se Cattivo invia un fotone qualsiasi a Bob, questi si accorgerà dopo un po' che la percentuale di errore sarà superiore al 75%, e ciò è possibile solo se qualcuno sta osservando il canale.

Questo vuol dire che il canale è definitivamente sicuro, perché i comunicanti sono in grado di accorgersi se qualcuno sta ascoltando su di esso! Ecco perché la crittografia quantistica è inespugnabile!

Difficoltà di questo protocollo

La difficoltà è ovviamente quella di riuscire ad inviare un fotone alla volta:) Non è così banale: i sistemi attualmente in commercio usano dei fasci laser attenuati. Ma la luce di un laser è coerente, e qualsiasi cosa ciò voglia dire, la conseguenza è che è difficile tirar fuori un fotone singolo da un fascio laser, per quanto attenuato.

La soluzione sarebbe stimolare con 1 singolo elettrone un tubo pieno di gas molto rarefatti. Il singolo elettrone stimolerebbe il singolo atomo di gas, che genererebbe un singolo fotone. In diversi laboratori del mondo già si ottengono queste cose.

Ultimi sviluppi

Come dice il principio di Kerckhoff, è bene far dipendere la segretezza di un messaggio dalla segretezza della chiave, e non dell'algoritmo, e il protocollo BB84 di cui sopra fa esattamente questo.

Ma ci sono anche degli studi recenti che cercano di permettere comunicazioni segrete dirette, a prova di intercettazione, sfruttando principi simili.

Inoltre, ci sono anche altri fenomeni quantistici che sono utilizzati per produrre gli stessi effetti del BB84.

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